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Mathe-Magie für Durchblicker Die verblüffendsten Mathetricks für alle Rechenarten von Benjamin, Arthur (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 23.07.2018
  • Verlag: Heyne
eBook (ePUB)
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Mathe-Magie für Durchblicker

Adam Riese war gestern - heute ist Arthur Benjamin! Wären Zahlen doch nur immer so zauberhaft gewesen! Der Mathematikprofessor und Bestsellerautor Arthur Benjamin lädt zu einer faszinierenden Reise durch alle Gebiete der Mathematik ein. Mit dabei sind die erstaunlichen Eigenschaften der Zahl 9, die verblüffende Unendlichkeit von Pi sowie jede Menge fabelhafte Tricks und wunderbare Kniffe - für jeden Leser zwischen 11 und ?. Arthur Benjamin ist Mathematikprofessor am Harvey Mudd College in Claremont, Kalifornien. Er arbeitet außerdem als professioneller Magier und zeigt sein Programm 'Mathematik & Magie' überall in der Welt.

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: watermark
    Seitenzahl: 400
    Erscheinungsdatum: 23.07.2018
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783641189310
    Verlag: Heyne
    Originaltitel: The Magic of Math
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Mathe-Magie für Durchblicker

Kapitel eins

Die Magie der Zahlen

Zahlenmuster

Die Erkundung der Mathematik beginnt mit Zahlen. Nachdem wir in der Schule zu zählen und Zahlen in Wörtern oder Ziffern oder physischen Objekten darzustellen gelernt haben, verbringen wir viele Jahre damit, mithilfe von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und weiteren Rechenarten mit Zahlen zu jonglieren. Leider bekommen wir oft nicht gezeigt, dass Zahlen einen ganz eigenen Zauber haben, der uns bannen könnte, wenn wir nur unter die Oberfläche blicken könnten.

Beginnen wir mit einer Aufgabe, die Carl Friedrich Gauß als Schulbub gestellt bekam. Gauß' Lehrer trug der Klasse auf, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen - eine mühselige Arbeit, die die Schüler eine Zeitlang beschäftigen sollte. Gauß verblüffte Lehrer und Mitschüler, indem er die Lösung sofort hinschrieb: 5050. Wie war er darauf gekommen? Gauß hatte sich die Zahlen 1 bis 100 in zwei Zeilen hingeschrieben vorgestellt: oben die Zahlen von 1 bis 50, darunter die Zahlen von 51 bis 100, allerdings in umgekehrter Reihenfolge (s. u.). Gauß erkannte, dass alle 50 Spalten jeweils 101 ergaben, die Gesamtsumme betrug also 50 x 101 gleich 5050.

Die Zahlen von 1 bis 100 in zwei Zeilen notiert; jede Spalte summiert sich zu 101.

Gauß wuchs später zum größten Mathematiker des neunzehnten Jahrhunderts heran - aber nicht, weil er schnell im Kopf rechnete, sondern weil er es verstand, die Zahlen zum Tanzen zu bringen. In diesem Kapitel erkunden wir viele interessante Zahlenmuster und bekommen eine erste Ahnung davon, wie Zahlen tanzen. Einige dieser Muster helfen tatsächlich beim Kopfrechnen, andere sind einfach nur schön.

Gut, wir wissen nun dank Gauß, wie man die Zahlen von 1 bis 100 zusammenrechnet. Doch was ist, wenn wir alle Zahlen von 1 bis 17 oder bis 1000 oder bis 1.000.000 addieren wollen? Kein Problem, die Methode funktioniert auch in diesen Fällen. Nennen wir die Zahl, bis zu der wir addieren wollen, n. Dieses n dürfen wir beliebig wählen. Manche Menschen finden Zahlen weniger abstrakt, wenn sie sie sich bildlich vorstellen können. Wir nennen die Zahlen 1, 3, 6, 10 und 15 Dreieckszahlen, da wir mit 1, 3, 6, 10, 15 usw. Punkten Dreiecke, wie unten gezeigt, bauen können. (Die 1 gilt hierbei auch als Dreieckszahl.) Die offizielle Definition lautet: Die n -te Dreieckszahl ist 1 + 2 + 3 + ... + n.

Die ersten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10 und 15

Sehen Sie, was passiert, wenn man zwei Dreiecke wie unten abgebildet aneinanderlegt?

Wie viele Punkte befinden sich in dem Rechteck?

Da die zwei (identischen) Dreiecke ein Rechteck mit 5 Zeilen und 6 Spalten bilden, gibt es insgesamt 30 Punkte. Folglich musste jedes der Ausgangsdreiecke halb so viele Punkte haben, nämlich 15. Klar, das wussten wir schon, aber nach der gleichen Logik können wir verallgemeinern: Nimmt man zwei Dreiecke mit n Zeilen und legt sie wie gezeigt aneinander, entsteht ein Rechteck mit n Zeilen und n + 1 Spalten, das n × ( n + 1) Punkte enthält (oder prägnanter: n ( n + 1)). Damit haben wir die versprochene Formel für die Summe der ersten n Zahlen abgeleitet:

Haben Sie gemerkt, was wir soeben getan haben? Wir haben ein Muster erkannt (wie man die ersten 100 Zahlen addiert) und es auf alle anderen Aufgaben dieser Art übertragen. Müssten wir alle Zahlen von 1 bis 1.000.000 addieren, könnten wir das in zwei Schritten tun: Erst 1.000.000 mit 1.000.001 multiplizieren und das Ganze dann durch 2 teilen!

Hat man erst einmal eine Formel gefunden, ergeben sich daraus schnell weitere Formeln. Multiplizieren wir z. B. beide Seiten

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