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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und Finanzmathematik von Hettich, Günter (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 01.12.2011
  • Verlag: De Gruyter Oldenbourg
eBook (PDF)
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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und Finanzmathematik

Die Mathematik als Grundlage von Planungs- und Entscheidungsprozessen in Wissenschaft, Wirtschaft und Verwaltung besitzt zahlreiche und vielfältige Anwendungsgebiete. Entsprechend ihrer Bedeutung werden in dem Lehrbuch die für die wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen wichtigen Teilgebiete Finanzmathematik, Lineare Algebra, Funktionen, Differentialrechnung sowie Lineare Optimierung behandelt. Die zahlreichen Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen dienen der Vertiefung und der Erweiterung dieser behandelten Themengebiete. Die Aufgaben sind aber auch zum Selbststudium geeignet.

Produktinformationen

    Format: PDF
    Kopierschutz: watermark
    Seitenzahl: 348
    Erscheinungsdatum: 01.12.2011
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783486710571
    Verlag: De Gruyter Oldenbourg
    Größe: 14220 kBytes
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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und Finanzmathematik

6 Lineare Optimierung (S. 245-246)

Im Abschnitt 5.4 des vorausgegangenen Kapitels 5 wurde die Lösung von bestimmten Extremwertproblemen im ökonomischen Bereich mit Hilfe der Differentialrechnung gezeigt. Bei der linearen Optimierung geht es ebenfalls um die Lösung von Maximierungs- bzw. Minimierungsproblemen. Während bei der Differentialrechnung Optimierungsprobleme mit einer oder auch mit mehreren unabhängigen Variablen gelöst werden, führen in der linearen Optimierung nur Probleme mit mindestens zwei unabhängigen Variablen zu inhaltsreichen Aufgabenstellungen. Im Gegensatz zur Differentialrechnung befasst sich die lineare Optimierung nur mit Zielstellungen, die durch lineare Funktionen beschrieben werden können. Darüber hinaus werden in Problemen der linearen Optimierung bestehende Nebenbedingungen (linearer Art) explizit bei der Bestimmung der zu extremierenden Zielfunktion berücksichtigt, was in den im Kapitel 5 betrachteten Extremwertaufgaben nicht der Fall war (obwohl es natürlich auch Extremwertaufgaben unter Nebenbedingungen gibt).

Sofern die Bedingung der Linearität der Zielfunktion bzw. der Restriktionen nicht erfüllt ist, liegen andere Planungsmodelle (z. B. der nichtlinearen Optimierung) vor. Auf solche Modelle wird im Rahmen dieser Abhandlung nicht weiter eingegangen.

Bei der linearen Optimierung handelt es sich um ein Teilgebiet des Operations Research (Unternehmensforschung). Diese Disziplin befasst sich allgemein mit der Analyse und Erarbeitung mathematischer Modelle für die Lösung bestimmter Problemstrukturen, vorrangig im betriebswirtschaftlichen Bereich.

6.1 Beschreibung linearer Optimierungsprobleme

Unter der linearen Optimierung versteht man ein Teilgebiet der Mathematik, das Modelle und Methoden zur Bestimmung des Extremwertes einer linearen Zielfunktion unter Einhaltung geltender linearer Nebenbedingungen in Gleichungs- oder Ungleichungsform zum Gegenstand hat. Nach der Art des Optimierungsproblems wird zwischen Maximierungs- und Minimierungsproblem unterschieden. Anstelle von linearer Optimierung sind auch die Bezeichnungen lineare Planungsrechnung oder lineare Programmierung gebräuchlich.

Modelle der linearen Optimierung bestehen aus den folgenden drei, nachfolgend näher beschriebenen Bestandteilen:

- lineare Zielfunktion

- System linearer Nebenbedingungen

- Nichtnegativitätsbedingungen für die (in der Zielfunktion und den Nebenbedingungen auftretenden) Variablen.

Zielfunktion

Die Zielfunktion eines linearen Optimierungsmodells basiert auf der gewählten Zielgröße (z. B. Umsatz, Gewinn, Kosten, Deckungsbeitrag als Differenz von Umsatz und variablen Kosten, Auslastung, Nutzungsgrad usw.) und lautet auf Extremierung (Maximierung oder Minimierung) dieser Zielgröße (z. B. Umsatzmaximierung oder Kostenminimierung).

Der Wert der angestrebten Zielgröße ergibt sich aus

- den möglichen Aktivitäten, Alternativen oder Handlungsmöglichkeiten (z. B. Verkauf von Produkt 1, Produkt2 und Produkt 3)

- dem Umfang bzw. dem Niveau der einzelnen Aktivitäten (z. B. Verkauf von 0,1,2,3,... Einheiten von Produkt 1, Produkt 2 bzw. Produkt 3)

- dem Zielbeitrag jeder einzelnen Aktivität bezogen auf ein Aktivitätsniveau von einer Einheit (z. B. Stückverkaufspreis von Produkt 1: 118,00 Euro, von Produkt 2: 95,30 Euro, und von Produkt 3 72,50 Euro).

In einem linearen Optimierungsmodell werden die möglichen Aktivitäten und ihr Niveau durch die Variablen x1,x2, . . . ,xn ausgedrückt. Die Anzahl an unabhängigen Variablen hängt vom jeweiligen Planungs- und Entscheidungsproblem ab und wird im Allgemeinen mit n angegeben. Die Variablen werden in diesem Zusammenhang auch Planungs- oder Entscheidungsvariablen genannt, die Ermittlung des optimalen (minimalen oder maximalen) Zielfunktionswertes besteht in der Berechnung von (optimalen) Werten für diese Variablen

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