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Wiley-Schnellkurs Ingenieursmathematik von Schreck, Marco (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 08.06.2015
  • Verlag: Wiley-VCH
eBook (ePUB)
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Wiley-Schnellkurs Ingenieursmathematik

1 Grundbegriffe In diesem Kapitel Summen- und Produktzeichen Mengenlehre Binomialkoeffizienten Vollständige Induktion
"Aller Anfang ist schwer" ...sagt man gewöhnlich, doch nicht in diesem Buch! Das aktuelle Kapitel dient dazu, Ihnen den Anfang so einfach wie möglich zu machen. Hier werden die grundlegenden Ideen vorgestellt, und Ihnen wird das Werkzeug an die Hand gegeben, das Sie im Verlauf des Buchs immer wieder benötigen. Als erstes geht es um häufig verwendete mathematische Symbole, anschließend werden Mengen und der binomische Lehrsatz vorgestellt. Den Abschluss bildet die vollständige Induktion, die als einfaches Beweisverfahren an zahlreichen Stellen im Schnellkurs benötigt wird. 1.1 Summen- und Produktzeichen In diesem kurzen Abschnitt wird auf einige in der Mathematik übliche Symbole eingegangen, die sehr oft Verwendung finden. Es geht um die kompakte Darstellung von Summen und Produkten, deren Ursache zum Teil in der Faulheit von Mathematikern zu finden ist. Diese Grundlagen sind im Rahmen einer Einführung zentral, und Sie sollten den Abschnitt aufmerksam lesen, sofern Sie mit der erklärten Symbolik nicht vertraut sind. Wissen Sie bereits Bescheid, dann können Sie das Kapitel problemlos überspringen. In der höheren Mathematik können sowohl Summen als auch Produkte auftreten, die aus sehr vielen oder sogar unendlich vielen Gliedern bestehen. Um einem das Leben leichter zu machen, dient zur kurzen Darstellung von Summen das Summenzeichen : (1.1)
Hierbei nennt man i den Summationsindex , über den die Summe läuft. Unterhalb des Summenzeichens wird dessen Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Wie Sie den Summationsindex nennen, ist nicht wichtig. Schauen Sie sich dazu die folgenden Beispiele an: (1.2a) (1.2b) (1.2c)
Summationsindizes lassen sich verschieben, wobei der Wert der Summe jedoch gleich bleibt. Für die Summe aus ( Gl. 1.1 ) kann man z.B. die Ersetzung i = i ' + 1 vornehmen, wobei i ' ein neuer Summationsindex ist. Für i = 1 bzw. i = n gilt dann i ' = 0 und i ' = n - 1. Dem neuen Summationsindex gibt man oft wieder den Namen des alten Indexes: (1.3)
Dabei wird der erste Schritt meistens weggelassen. Ebenso kann man Teile der Summe abspalten, womit sich der Startwert bzw. der Endwert des Summationsindex ändert, also (1.4)
Zur Darstellung von Produkten dient das Produktzeichen , das ähnlich wie das Summenzeichen funktioniert: (1.5)
Hier ist i der Produktindex . Unterhalb des Produktzeichens wird auch hier der Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Zum Verständnis dienen wieder einige Beispiele: (1.6a) (1.6b) (1.6c)
Ebenso lässt sich bei Produkten der Index verschieben. Führt man einen neuen Index i ' gemäß i = i '- 1 ein, so entsprechen i = 1 bzw. i = n den neuen Indexgrenzen i ' = 2 bzw. i ' = n + 1. Dann geht das Produkt aus ( Gl. 1.5 ) in das folgende über, dessen Wert jedoch nach wie vor derselbe ist: (1.7)
Analog zu Summen kann man einzelne Faktoren abspalten oder hinzufügen. Für ( Gl. 1.5 ) gilt dann: /

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 270
    Erscheinungsdatum: 08.06.2015
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783527695997
    Verlag: Wiley-VCH
    Größe: 10312 kBytes
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Wiley-Schnellkurs Ingenieursmathematik

1
Grundbegriffe

In diesem Kapitel

Summen- und Produktzeichen
Mengenlehre
Binomialkoeffizienten
Vollständige Induktion
"Aller Anfang ist schwer" ...sagt man gewöhnlich, doch nicht in diesem Buch! Das aktuelle Kapitel dient dazu, Ihnen den Anfang so einfach wie möglich zu machen. Hier werden die grundlegenden Ideen vorgestellt, und Ihnen wird das Werkzeug an die Hand gegeben, das Sie im Verlauf des Buchs immer wieder benötigen. Als erstes geht es um häufig verwendete mathematische Symbole, anschließend werden Mengen und der binomische Lehrsatz vorgestellt. Den Abschluss bildet die vollständige Induktion, die als einfaches Beweisverfahren an zahlreichen Stellen im Schnellkurs benötigt wird.
1.1 Summen- und Produktzeichen

In diesem kurzen Abschnitt wird auf einige in der Mathematik übliche Symbole eingegangen, die sehr oft Verwendung finden. Es geht um die kompakte Darstellung von Summen und Produkten, deren Ursache zum Teil in der Faulheit von Mathematikern zu finden ist. Diese Grundlagen sind im Rahmen einer Einführung zentral, und Sie sollten den Abschnitt aufmerksam lesen, sofern Sie mit der erklärten Symbolik nicht vertraut sind. Wissen Sie bereits Bescheid, dann können Sie das Kapitel problemlos überspringen.

In der höheren Mathematik können sowohl Summen als auch Produkte auftreten, die aus sehr vielen oder sogar unendlich vielen Gliedern bestehen. Um einem das Leben leichter zu machen, dient zur kurzen Darstellung von Summen das
Summenzeichen : (1.1)
Hierbei nennt man i den Summationsindex , über den die Summe läuft. Unterhalb des Summenzeichens wird dessen Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Wie Sie den Summationsindex nennen, ist nicht wichtig. Schauen Sie sich dazu die folgenden Beispiele an:
(1.2a) (1.2b) (1.2c)
Summationsindizes lassen sich verschieben, wobei der Wert der Summe jedoch gleich bleibt. Für die Summe aus ( Gl. 1.1 ) kann man z.B. die Ersetzung i = i ' + 1 vornehmen, wobei i ' ein neuer Summationsindex ist. Für i = 1 bzw. i = n gilt dann i ' = 0 und i ' = n - 1. Dem neuen Summationsindex gibt man oft wieder den Namen des alten Indexes:
(1.3)
Dabei wird der erste Schritt meistens weggelassen. Ebenso kann man Teile der Summe abspalten, womit sich der Startwert bzw. der Endwert des Summationsindex ändert, also
(1.4)
Zur Darstellung von Produkten dient das Produktzeichen , das ähnlich wie das Summenzeichen funktioniert:
(1.5)
Hier ist i der Produktindex . Unterhalb des Produktzeichens wird auch hier der Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Zum Verständnis dienen wieder einige Beispiele:
(1.6a) (1.6b) (1.6c)
Ebenso lässt sich bei Produkten der Index verschieben. Führt man einen neuen Index i ' gemäß i = i '- 1 ein, so entsprechen i = 1 bzw. i = n den neuen Indexgrenzen i ' = 2 bzw. i ' = n + 1. Dann geht das Produkt aus ( Gl. 1.5 ) in das folgende über, dessen Wert jedoch nach wie vor derselbe ist:
(1.7)
Analog zu Summen kann man einzelne Faktoren abspalten oder hinzufügen. Für ( Gl. 1.5 ) gilt dann:
/

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